Quando non si può tornare indietro nel tempo

Il caos è presente nella maggior parte dei sistemi stellari dinamici e si manifesta attraverso la divergenza esponenziale di piccole perturbazioni, che porta all’irreversibilità temporale e aumenta l’entropia nel sistema.

Fino ad ora, una relazione quantitativa tra il caos nei sistemi stellari dinamici e il livello di irreversibilità del sistema era indeterminata. Gli scienziati hanno sempre spiegato la mancanza di simmetria temporale con l’interazione statistica tra un gran numero di particelle.

Tjarda Boekholt (Università di Coimbra, Portogallo), Simon Portegies Zwart (Università di Leida) e Mauri Valtonen (Università di Turku, Finlandia) hanno invece dimostrato che sono sufficienti tre particelle per spezzare la simmetria temporale. Per farlo, hanno studiato sistemi caotici a tre corpi usando la “forza bruta”, servendosi di Brutus (Brute force arbitrary-precision N-body code), un codice molto accurato che permette di superare le incertezze legate all’aritmetica standard a doppia precisione.

Sarebbe molto bello se, date posizioni e velocità di ogni oggetto dell’universo con una certa precisione, fosse possibile conoscere il suo futuro e il suo passato. Il caos però ci insegna che, se è vero che il passato determina il futuro, non è vero che un’approssimazione del passato determina approssimativamente il futuro. Due stati iniziali molto vicini possono evolvere lungo strade completamente diverse, e non è proprio possibile fare un rewind per risalire alla configurazione iniziale che ha portato a quel particolare stato del sistema.

Da un punto di vista numerico, nelle simulazioni a N-corpi gli errori sulla conoscenza degli stati agiscono come piccole perturbazioni del sistema e la loro successiva amplificazione esponenziale fa sì che la soluzione diverga in una traiettoria completamente diversa dopo solo alcune scale temporali di Lyapunov, dove quest’ultimo è il tempo oltre il quale il sistema dinamico diventa caotico e non è più possibile fare previsioni.

Senza questa dimostrazione, si può pensare di applicare la forza bruta per cercare di ridurre l’entità degli errori numerici. Ed è proprio quello che hanno fatto i tre ricercatori.

Un modo robusto per testare l’accuratezza di uno specifico problema a N-corpi è quello di fare un test di reversibilità. Poiché le equazioni del moto di Newton sono reversibili nel tempo, un’integrazione in avanti seguita da un’integrazione all’indietro dello stesso tempo dovrebbe riportare alla stessa realizzazione iniziale del sistema. Il risultato di un test di reversibilità è quindi noto esattamente. Nella pratica, la reversibilità nelle simulazioni di sistemi caotici è molto difficile da raggiungere a causa sia di una crescita esponenziale delle perturbazioni per via del caos, sia per via di errori numerici irreversibili. Anche se Brutus non è formalmente reversibile nel tempo, riesce a recuperare la condizione iniziale del sistema alle prime 10 cifre decimali in ciascuna coordinata di ogni corpo presente nell’istantanea finale. Mentre l’integrazione diretta è soggetta a divergenza esponenziale, quella inversa è soggetta alla convergenza esponenziale alla dimensione iniziale della perturbazione su ben nove ordini di grandezza.

L’idea alla base del lavoro è la seguente. Ogni sistema triplo è caratterizzato da un certo tempo di fuga, che è il tempo dopo il quale il sistema si spezza. Quando questo succede, uno o più corpi se ne vanno per i fatti loro. Data una certa precisione numerica, esiste anche un tempo di tracciamento, che è il tempo in cui la soluzione numerica rimane vicina alla traiettoria fisica, legata alla condizione iniziale. Se il tempo di tracciamento è inferiore al tempo di fuga, la soluzione numerica si discosta dalla soluzione fisica e, di conseguenza, il sistema è irreversibile rispetto al tempo. Solo i sistemi con piccolissimi fattori di amplificazione passeranno il test di reversibilità. Tuttavia, aumentando sistematicamente l’accuratezza numerica, si aumenta il tempo di tracciamento di ciascun sistema. In questo modo, una parte crescente di sistemi avrà un tempo di tracciamento superiore al suo tempo di fuga, riducendo così gradualmente la frazione di soluzioni irreversibili.

I tre ricercatori hanno applicato questo risultato a sistemi costituiti da tre enormi buchi neri (ognuno di massa pari a un milione di masse solari) inizialmente separati da un parsec, pari a 1051 lunghezze di Planck. Hanno calcolato le orbite dei tre buchi neri che si influenzano a vicenda, attraverso due diverse simulazioni. Nella prima simulazione, i buchi neri partono da fermi, per poi muoversi l’uno verso l’altro incrociando le loro complicate orbite finché uno dei tre abbandona gli altri due. La seconda simulazione inizia con la situazione finale della prima simulazione, con due buchi neri legati gravitazionalmente e il terzo buco nero sfuggito dal sistema, e tenta di riportare indietro il tempo alla situazione iniziale.

Ciò che hanno visto è che questo è generalmente possibile e solo nel 5 per cento dei casi il rewind non si riesce a fare, anche se il computer utilizza più di cento decimali! Questa piccola percentuale non è quindi legata alla potenza del computer o a metodi di calcolo più intelligenti, come si pensava in precedenza, bensì è dovuta a un limite fisico dettato dalla lunghezza di Planck. Il cinque per cento di tali sistemi richiederebbe infatti una precisione nella conoscenza delle condizioni iniziali inferiore alla lunghezza di Planck per generare una soluzione reversibile nel tempo, rendendoli quindi fondamentalmente imprevedibili.

«Il movimento dei tre buchi neri può essere talmente caotico che qualcosa di così piccolo come la lunghezza di Planck ne influenzerà i movimenti. Le perturbazioni su scala della lunghezza di Planck hanno un effetto esponenziale e spezzano la simmetria temporale», spiega Boekholt.

«Quindi non essere in grado di tornare indietro nel tempo non è più solo un argomento statistico, bensì è un fatto insito nelle leggi fondamentali della natura. Nemmeno un sistema di tre oggetti in movimento, grandi o piccoli che siano, pianeti o buchi neri, può sfuggire alla direzione del tempo», conclude Portegies Zwart.

Fonte: INAF